Всего: 339 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
где 
и решим уравнение 
где 
Перепишем это уравнение в виде 
и уравнения (2) 
Для уравнения (1) это 
для уравнения (2) 
Эти решения изображены на тригонометрическом круге (см. рис). 
при этом 
для n = 1, 2, ..., k. Здесь an — члены арифметической прогрессии, для которой a20 = 59 и a40 = 119. Найти сумму всех чисел из M100.
является корнем уравнений для всех n и принадлежит M100. Поэтому сумма вторых корней 
уравнений равна 
имеет ровно три решения.
и 
и 
и 
Для того, чтобы исходная система имела ровно три решения, необходимо и достаточно, чтобы эти три решения удовлетворяли третьему уравнению системы — 
В результате получаем систему уравнений для нахождения a, b и c: 
Подставим 
в первое уравнение: 
то 
a если 
то снова 
Таким образом, получаем: 
и 
На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки D и E так, что AD : AB = 1 : 3 и CE : CA = 1 : 4. Прямые CD, BE и медиана, проведенная из вершины A, попарно пересекаются в точках M, N и P. Найти отношение площадей треугольников MNP
и 
Здесь 
и 
Прямые CD, BE и медиана, проведенная из вершины A, попарно пересекаются в точках M, N и P. Нужно найти отношение площадей треугольников MNP и ABC (см. рис.).
и 
В этих обозначениях предыдущее равенство примет вид: 
Найдем отношение площадей 
получаем
и сложения с (2), получим 
В нашем случае 
найти x, при котором выражение 
принимает наименьшее возможное значение.
найти x, при котором выражение 
принимает наименышее возможное значение.
Перепишем это выражение в виде 
Следовательно, 
Надо найти наименьшее значение многочлена 
на отрезке 
Для этого найдем производную 
и разложим ее на множители: 
а на (1; 2] имеем 
то 
—
и 
удовлетворяют системе 
и 
и 
для 
и 
выполнены.
а 
В этом случае решение системы можно записать в виде 
и 
удовлетворяют наборы с 
и с 
Итого 4 решения. 
a 
В этом случае решение системы можно записать в виде 
и 
удовлетворяют наборы с 
Числа x, y и z, не равные нулю, таковы, что их квадраты в указанном порядке являются последовательными членами арифметической прогрессии, а числа 10x, 4y2 и 5z3 — последовательными членами геометрической прогрессии. Найти все такие тройки x, y и z, известно, что отношение x :z рационально.
и перепишем последнее уравнение в виде 
По условию t — рациональное число. Уравнение 
может иметь рациональные корни 
удовлетворяет уравнению, поэтому уравнение имеет только один рациональный корень 
Тогда получим
Маша строила числовое множество следующим образом. На первом шаге, она взяла точки 1 и 16 на числовой оси и написала между ними их среднее геометрическое. На втором и последующих шагах, между любыми двумя соседними числами, полученными на предыдущих этапах, она располагала их средние геометрические. Сколько чисел появится на числовой оси после десятого шага и какова их сумма? Какое число будет стоять на девятом месте, если считать, что полученное после десятого шага числовое множество упорядочено по возрастанию?
и 
то a, 
b являются последовательными членами геометрической прогрессии со 
знаменателем 
и числом членов 
В нашем случае 
и 
Следовательно, мы имеем геометрическую прогрессию, у которой первый член 
знаменатель прогрессии 
а число членов равно 
Сумма членов 
задает прямую. Перепишем это уравнение в виде 
и 
соответственно. Найдем направляющий вектор прямой, по которой пересекаются эти плоскости. Заметим, что точка B принадлежит этой прямой, так как она принадлежит обеим плоскостям. Вторую точку на прямой (обозначим ее K) будем искать из условия 
Подставляя 
в уравнения плоскостей A′BM и C′BD, получим 
и 
Вычислим 
параллельно вектору 
принимает минимальное значение?
Тогда выражение 
Квадратный трехчлен 
принимает минимальное значение в вершине 
то 
и 
Арифметическая прогрессия an имеет разность dn = −3, арифметическая прогрессия bn имеет разность db = 4 и b1 = 3. Доказать, что последовательность cn = abn также арифметическая прогрессия. Найти ее разность и наибольшее значение суммы n ее членов, если a1 = 36.
и разностью 
Вычислим 
то сумма n ее членов максимальна при 
Тогда по условию 
и 
поэтому 
то есть 
делится на 9, а k — четное число, которое может принимать одно из двух значений 2 или 4.
Тогда 
и 
Вариантов выбора 
удовлетворяющих первому условию и 
удовлетворяющих второму условию −10. Таким образом, в первом случае имеется 90 чисел удовлетворяющих условию задачи. Наименьшее среди них 1809. 
Тогда 
следовательно, 
и 
и 
отсюда 
и 
В этом случае только одно число 9999. Всего получаем 91 чисел.
где x1 и x2 — действительные корни уравнения 
и 
В результате неравенство принимает вид 
С учетом условия существования корней 
получим окончательный 
Точка M расположена на стороне AD прямоугольника ABCD так, что в четырехугольник BCDM можно вписать окружность. Найти отношение площади четырехугольника BCDM к площади прямоугольника, если отношение длин сторон прямоугольника
тогда
находим 
отсюда 
Вычислим площадь трапеции BCDM: 
решить уравнение 
и решим уравнение 
Оно имеет вид 
или 
Его корни: 
и 
и t(x) = 1 для x > 0. Решить уравнение 
— арифметическая прогрессия с a1 = 3 и разностью d = 2, где Sn — сумма первых ее n членов. Функция 
такова, что 
для всех натуральных n. Найти a, b и c.
—
и 
то 
принимает вид 
и 
и 
если 
и 
если 
Расстояние между корнями равно: 
или 
Решая это неравенство, получаем, что искомые n нужно выбирать среди чисел 
отрезок решений неравенства 
содержит четыре целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит четыре целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит три целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит два целых решения. 
отрезок решений неравенства [1; 3] содержит три целых решения.
отрезок решений неравенства 
содержит три целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит три целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит четыре целых решения.